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自动控制理论基石
发展脉络与研究对象
自动控制理论的发展历程是一部科技不断进步的史诗。从早期的简单机械控制到如今高度智能化的控制系统，其理论体系不断完善。反馈控制理论作为自动控制理论的核心，主要研究如何通过反馈机制实现对系统的精确控制。它关注系统的输入、输出以及它们之间的关系，旨在通过调整控制量，使系统的输出能够按照预期的目标变化。
基本概念与系统分类
自动控制系统有着一系列基本概念和术语，如被控对象、控制器、反馈环节等。这些概念构成了自动控制系统的基本框架。自动控制系统由多个部分组成，包括检测装置、比较装置、执行机构等，它们相互协作，共同完成控制任务。根据不同的分类标准，自动控制系统可分为开环控制系统和闭环控制系统、线性系统和非线性系统、连续系统和离散系统等。在实际应用中，自动控制系统广泛应用于工业生产、航空航天、交通运输等领域，如自动化生产线、飞机的自动驾驶系统、汽车的巡航控制系统等。
系统基本要求
对自动控制系统有着明确的基本要求，即稳定性、快速性和准确性。稳定性是系统正常运行的前提，只有稳定的系统才能保证输出不会出现发散或振荡的情况。快速性要求系统能够快速响应输入信号的变化，及时调整输出。准确性则强调系统的输出要尽可能接近期望值，减小误差。
数学模型构建
模型概念与方法
数学模型是描述系统动态特性的数学表达式，它是分析和设计控制系统的基础。数学模型的表达方式有多种，如微分方程、传递函数、状态空间方程等。建模方法主要包括机理建模和实验建模。机理建模是根据系统的物理原理和运动规律，建立系统的数学模型；实验建模则是通过对系统进行实验，获取系统的输入输出数据，然后利用系统辨识的方法建立数学模型。
微分方程与拉氏变换
微分方程是描述系统动态特性的常用数学工具。列写微分方程需要根据系统的物理原理和运动规律，建立系统各变量之间的关系。然而，微分方程往往是非线性的，求解起来比较困难。因此，需要对微分方程进行线性化处理，其基本思想是在系统的工作点附近，将非线性方程近似为线性方程。拉氏变换是求解微分方程的重要方法，它可以将时域中的微分方程转换为复域中的代数方程，简化求解过程。考生需要简单回顾拉氏变换的定义、性质，并记住常见简单函数的拉氏变换式，同时掌握拉氏反变换的方法。
传递函数与方框图
传递函数是描述线性定常系统动态特性的重要数学工具，它是系统输出拉氏变换与输入拉氏变换之比。基本环节的传递函数具有特定的形式，如比例环节、积分环节、微分环节、惯性环节、振荡环节等。控制系统的方框图由多个环节和信号线组成，它直观地表示了系统的结构和信号的传递关系。方框图的简化是分析控制系统的重要步骤，常用的方法有串联、并联、反馈等。梅逊增益公式是一种用于计算复杂方框图传递函数的有效方法，它可以根据方框图的结构和增益，快速求出系统的传递函数。
时域与频域分析
时域响应指标
控制系统的典型输入信号有阶跃信号、斜坡信号、加速度信号、正弦信号等。时域响应指标是衡量系统时域性能的重要参数，包括上升时间、峰值时间、超调量、调节时间等。上升时间反映了系统响应的快速性，峰值时间和超调量体现了系统响应的平稳性，调节时间则表示系统进入稳态所需的时间。
一阶与二阶系统分析
一阶系统的瞬态响应相对简单，其瞬态响应指标可以通过解析方法直接计算得到。二阶系统的瞬态响应分析较为复杂，它与系统的极点密切相关。二阶系统的瞬态响应指标如超调量、调节时间等与系统的阻尼比ζ和自然频率wn有关，通过建立它们之间的关系式，可以方便地计算系统的瞬态响应指标。高阶系统的瞬态响应可以通过闭环主导极点的概念进行简化分析，闭环主导极点是指对系统瞬态响应起主要作用的极点。
频域特性与系统辨识
频率特性是描述系统在正弦信号作用下输出与输入关系的数学工具，它有两种主要表达方式，即幅相频率特性（奈奎斯特图）和对数频率特性（伯德图）。典型环节的频率特性具有特定的形状和特点，如比例环节的频率特性是一条水平直线，积分环节的频率特性在低频段斜率为 -20dB/dec 等。最小相位系统是指系统的零点和极点都位于 s 平面的左半平面。系统开环频率特性可以通过绘制奈奎斯特图和伯德图来表示，系统辨识则是利用实测的开环幅频特性来确定系统的开环传递函数。闭环频率特性反映了系统在闭环状态下的频率响应特性，频域指标与时域指标之间存在着一定的关系，通过频域分析可以间接了解系统的时域性能。
系统稳定性与误差分析
稳定性判据
稳定是控制系统正常运行的基本要求。稳定的充要条件是系统的特征方程的所有根都具有负实部。判断系统稳定性的代数判据有劳斯判据和赫尔维茨判据，它们通过分析系统特征方程的系数来判断系统的稳定性。几何判据有奈奎斯特稳定判据，它利用幅相频率特性曲线和对数频率特性曲线来判断系统的稳定性。控制系统的相对稳定性可以用相角裕度和幅值裕度来衡量，相角裕度和幅值裕度越大，系统的相对稳定性越好。影响系统稳定性的主要因素有系统的增益、时间常数、零点和极点的位置等。
稳态与动态误差
稳态误差是指系统在稳态时输出与期望值之间的差值，它分为给定稳态误差和扰动稳态误差。给定稳态误差终值的计算可以根据系统的类型和输入信号的形式进行。减小稳态误差的基本方法有提高系统的开环增益、增加积分环节等。动态误差是指系统在过渡过程中输出与期望值之间的差值，它的计算方法相对复杂，需要根据系统的传递函数和输入信号进行求解。
控制系统校正
校正概念与方法
控制系统校正的目的是改善系统的性能，使其满足稳定性、快速性和准确性的要求。校正的实质是在系统中加入校正装置，改变系统的结构和参数。校正的方法有串联校正、并联校正和反馈校正等，校正装置的形式有超前校正装置、滞后校正装置和滞后 - 超前校正装置等。
串联校正装置参数确定
串联相位超前校正装置可以提高系统的快速性和稳定性，它通过产生相位超前角来增大系统的相角裕度。串联相位滞后校正装置可以减小系统的稳态误差，同时对系统的快速性影响较小。串联相位滞后 - 超前校正装置综合了超前校正和滞后校正的优点，既能提高系统的快速性和稳定性，又能减小系统的稳态误差。利用频率特性法可以确定串联校正装置的参数，通过调整校正装置的参数，使系统的频率特性满足设计要求。
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